Kurzfassung
Diese Dissertation untersucht das Verhalten von klassischen Ionen und Dipolen, die in gekrümmten Geometrien eingeschlossen sind. Die Kombination aus Zwangskräften und den Wechselwirkungen zwischen den Teilchen führt zu geometrieabhängigen effektiven Wechselwirkungen. Letztere zeigt einen anderen Character als Wechselwirkungen in flachen Geometrien. Beispielsweise zeigen Coulomb-wechselwirkende Ionen, die auf einem Helix-Pfad eingeschlossen sind, oszillierende effektive Wechselwirkungen, die es zwei oder mehr Ionen ermöglichen, einen gebundenen Zustand zu bilden. Ein Beispiel für einen solchen gebundenen Zustand ist, wenn sich zwei Ionen auf entgegengesetzten Seiten einer Helix-Windung einfangen. Diese Dissertation untersucht die vielfältige Phänomenologie, die durch solche geometrieabhängigen effektiven Wechselwirkungen hervorgerufen wird, wobei eine breite Auswahl von Geometrien sowie sowohl isotrope als auch anisotrope Interpartikelwechselwirkungen betrachtet werden.
Wir untersuchen zunächst die Auswirkungen von externen elektrischen Feldern auf die Eigenschaften von Ionen, die auf einer Helix eingeschlossen sind. Die Untersuchung beginnt mit Vielteilchen-Gleichgewichtskonfigurationen auf einem toroiden Helix und konzentriert sich auf die Entwicklung dieser Konfigurationen in Gegenwart eines statischen externen elektrischen Feldes. Wir charakterisieren die statistischen Eigenschaften dieser Gleichgewichtszustände. Darüber hinaus stellen wir fest, dass durch Variation der Feldstärke ein Übergang zwischen ungeordneten und geordneten Gleichgewichtskonfigurationen auftritt. Dieser Übergang besteht über einen weiten Bereich von Systemparametern hinweg.
Als Nächstes untersuchen wir zeitabhängige Felder. Wir analysieren die Dynamik eines einzelnen Teilchens, das auf einem toroiden Helix eingeschlossen ist und von einem oszillierenden oder rotierenden externen Feld angetrieben wird. Anhand einer Phasenraumanalyse identifizieren wir einen Mechanismus, der für die effektive Induzierung eines gerichteten Transports des Teilchens verantwortlich ist, wobei die Transportrichtung durch die Anfangsbedingungen bestimmt wird. Bemerkenswerterweise tritt dieser gerichtete Transport auch ohne jeglichen Bias oder Asymmetrien im antreibenden Potential auf. Im Falle des oszillierenden externen Feldes führt das Hinzufügen eines statischen Potentials entlang der Helix dazu, dass sich das Verhalten des Systems zu dem eines generalisierten Kapitza-Pendels ändert.
Außerdem untersuchen wir, was passiert, wenn anisotrope Dipol-Dipol-Wechselwirkungen anstelle von isotropen Coulomb-Wechselwirkungen berücksichtigt werden. Wir beginnen mit einem System aus frei rotierenden Dipolen an festen equidistanten Positionen entlang einer Helix. Unsere Analyse der Gleichgewichtskonfigurationen im Grundzustand zeigt ein komplexes Verhalten und eine Abhängigkeit von geometrischen Parametern wie dem Helixradius und der (parametrischen) Entfernung zwischen zwei Dipolen entlang der Helix. Insbesondere können die Gleichgewichtskonfigurationen eindeutig durch ganzzahlige Tupel beschrieben werden, die auf Bruchteile der zahlentheoretischen Farey-Folge abgebildet werden können, während wir im Parameterraum einen selbstähnlichen Bifurkationsbaum identifizieren der dem Stern-Brocot-Baum ähnelt.
Über die helikalen Geometrien hinaus erforschen wir Dipolarrays auf gekrümmten 2D-Oberflächen. Bei diesem Setup kann die geometrische Krümmung dazu führen, dass der Grundzustand Domänenwände aufweist, die Regionen unterschiedlicher Dipolausrichtungen voneinander trennen. Diese durch Krümmung induzierten Domänenwände verhalten sich anders als typische (durch Entartung induzierte) Domänenwände: Wir verdeutlichen diese Unterschiede anhand der Reaktion der Domänenwände auf ein externes Feld sowie mit dem Einfluss der Domänenwände auf die Dispersion von Anregungen. Insbesondere bei letzterem Beispiel ist die Dynamik von kleinen Anregungen auf die Domänen beschränkt, ohne dass die begrenzende Domänenwand überschritten werden kann. Schließlich zeigen wir, dass die Erzeugung und Vernichtung dieser durch Krümmung induzierten Domänen von Strukturübergängen begleitet wird, die durch einen Einbruch im 2D-Kompressionsmodul gekennzeichnet sind.
This thesis investigates the behavior of classical ions and dipoles that are confined to curved geometries. The combination of confining forces and the interactions between particles gives rise to geometry-dependent effective interactions. The latter exhibit different characteristics compared to interactions in flat geometries. For instance, Coulomb-interacting ions confined to a helical path exhibit oscillating effective interactions, allowing two or more ions to form a bound state. One example of such a bound state are two ions trapping each other on opposite sides of a helix winding. The diverse phenomenology induced by such geometry-dependent effective interactions is studied in detail throughout this thesis by considering a wide range of geometries, and both isotropic and anisotropic interparticle interactions. We first investigate the impact of external electric fields on the properties of ions confined to a helix. We consider many-body equilibrium configurations on a toroidal helix, focusing on the evolution of these configurations in the presence of a static external electric field. We are able to characterize the statistical properties of these equilibria. Additionally, we find that by varying the field strength a crossover between staggered and ordered equilibrium configurations occurs. This crossover persists for a wide range of system parameters. Next, we explore time-dependent fields. We analyze the dynamics of a single particle confined to a toroidal helix, driven by an either oscillating or rotating external field. Using phase space analysis, we identify a mechanism responsible for effectively inducing directed transport of the particle, with the transport direction being determined by the initial conditions. Remarkably, this directed transport occurs even without any bias or asymmetries in the driving potential. In the case of the oscillating external field, adding a static potential along the helical path will change the systems behavior to that of a generalized Kapitza pendulum. We also investigate what happens when considering anisotropic dipole-dipole interactions instead of isotropic Coulomb interactions. We begin with a system of freely rotating dipoles at fixed equidistant positions along a helical path. Our analysis of the ground-state equilibrium configurations reveals a complex behavior and shows a dependence on geometrical parameters, such as the helix radius and the (parametric) distance between two dipoles along the helix. In particular, the equilibrium configurations can be uniquely described by integer tuples that can be mapped to fractions of the number-theoretical Farey sequence, while in the parameter space, a self-similar bifurcation tree akin to the Stern-Brocot tree is identified. Beyond helical geometries, we explore dipole arrays on curved two-dimensional surfaces. For this setup, the geometric curvature can lead to a ground state exhibiting domain walls that separate regions of different dipole alignments. These curvatureinduced domain walls behave differently from typical (degeneracy-induced) domain walls. We highlight these differences by examining the domain-walls response to an external field, as well as the impact of the domain-wall on the dispersion of excitations. Notably, for the latter example, low-energy dynamics are confined within the domains, without being able to cross the boundary of the domain wall. Finally, we show that the emergence and annihilation of these curvature-induced domains are accompanied by structural crossovers that are indicated by a dip in the 2D compression modulus.